当前位置: 首页  学院动态

我校王二小教授与港科大严民教授在分类球面五边形密铺研究取得重要成果

发布者:数学与计算机科学学院   发布时间:2021-07-27  浏览次数:320

近年来,我校双龙特聘教授王二小与香港科技大学理学院副院长严民经过五年合作攻关,以共约两百页的四篇文章(arXiv: 1804.03770, 1805.07217, 1903.02712, 1907.08776)研究了用全等五边形“边对边”密铺球面的完整分类;其中三篇论文[1]经过两年多审稿于2021年7月被Advances in MathematicsJCR分区/中科院分区: Q1/数学1区-顶尖)在线发表。这不仅是以我校为第一署名单位首次在该顶尖期刊发表论文,也是我国首次在数学顶尖期刊同时发表三篇长文系列研究一个问题。

回顾1976年Appel-Haken利用计算机解四色问题震惊了数学界,现王-严几乎不借助计算机分类球面五边形密铺同样出乎业界意外(等边五边形情形在早期借助了Akama的数值计算来推导,但最终因为很难完全严格化而被代数几何工具所替换)。王-严原创了顶点分布统计、多种剖分构造、多种组合和几何基本引理、相邻角推导符号系统、用代数几何Groebner基精确求解高阶三角函数方程组、用离散Gauss-Bonnet定理导出特殊块等一整套理论方法,来处理球面五边形密铺的各大子类。并且这套理论已经被王二小教授带领我校研究生廖艺熹和初阳班本科生徐应允、钱品任成功应用到球面四边形密铺领域,取得了突破性进展:完整分类了具有3种不同边长的子类。对比欧、美、日多个研究团队对球面四边形密铺十几年探索出的一些简单特例,不仅充分证明这三篇长文系列达到了国际领跑水平,而且其建立的理论方法和推导符号系统将成为球面密铺领域教科书式的标准内容。这些突破性成果和奠基性理论,携手以宗传明教授等为代表在欧氏空间密铺的长期研究成果,标志着我国走到了密铺镶嵌领域的世界最前列。

密铺或镶嵌是个基本而古老的数学结构,广泛出现在自然结构和科技领域中,例如蜂窝、(准)晶体、分子结构、纳米材料、艺术以及建筑设计等。(下组图片源自百度百科)

关于密铺的重大数学问题包括希尔伯特第18问题,关于密铺的重大科学应用则包括准晶体的发现,丹·谢赫特曼因为首次发现具有这种结构的合金材料获得了2011年诺贝尔化学奖。

单密铺平面的凸多边形中五边形最复杂(三、四、六边形相对简单,七边形以上不可能)。直到2015年Mann-McLoud-Derau发现了第15类五边形,随后Rao的预印本宣称没有更多种类了。更多趣闻和研究现状请大家参考宗传明老师新发表的综述论文[2]。

相比较之下,关于球面的密铺研究就少多了。关于球面上的多边形是以测地线或大圆弧(过球心的平面与球面的交)为边,比如经线,而除赤道外的纬线则不是大圆弧。可单独密铺球面的三角形完整分类由Sommerville在1923 年开始,经过很多人的钻研,最后由Ueno 和Agaoka在2002年才完成。他们也解释了可单独密铺球面的四边形的分类为什么非常困难。Akama 等几个团队对密铺球面的四边形分类的一些早期探索验证了四边形的困难程度,以至于大多数人认为球面五边形密铺分类更加遥不可及。正是在这些背景下,王-严的一系列突破性论文才显得尤为可贵。其正在或将被欧、美、日等多个研究团队消化,大家不仅期望加速分类四边形的情形,而且还将开始探索错边、曲边、多种形状组合等等更多的衍生问题。祝愿我国团队能持续在该领域取得丰硕成果,一直领跑。

除了在小众的球面密铺领域做出了上述原创理论突破,王教授还与合作者一起在理论成熟的可积系统领域做出反常识突破(2020年8月发表于欧洲著名杂志J. Inst. Math. Jussieu.):可积系统的解空间上的有理环群作用均由其两位导师Terng-Uhlenbeck总结的广义Backlund变换生成!该交叉领域云集全球几十位数学和物理大师,比如Uhlenbeck院士刚获得Abel国际数学大奖。前辈们基于代数和分析等经验一致认为幂零元作用与Backlund变换有着本质区别,而该成果“反转”了这种常识。王教授早期还应用Galois理论、Hitchin系统和G2谱曲线对六维球面中近复环面的存在性给出了意外结果。

人物简介

王二小,南开大学数学试点班本科,美国东北大学博士,MSRI博士后,UT Austin讲师,新加坡国立大学访问助理教授,中科院海外归国杰出青年,德国慕尼黑工大访问教授,香港科技大学访问学者,浙师大双龙特聘教授。 

参考文献

[1] 王二小,严民. Tilings of the Sphere by Congruent Pentagons I, II, III. Adv. Math. (2021), https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107866, 107867, 107881

[2] 宗传明. Can You Pave the Plane with Identical Tiles? Notice AMS, 67(5): 635-646, 2020.